Pythonで実装する線形写像のカーネルと像

1. 線形写像とは

線形写像は、ベクトル空間から別のベクトル空間への変換を表す数学的な概念です。簡単に言えば、ベクトルを取って別のベクトルを返す関数です。線形性を持つため、スカラー倍や加法に対して保存されます。

2. カーネルとは

カーネル（英: kernel）は、線型代数学や関数解析学において、ある演算子や写像が零元（ゼロ元）または零空間（ゼロくうかん）を持つ部分集合を指す用語です。具体的に言えば、ある線形写像 $T: V \rightarrow W$ の定義域 $V$ の中で、$T(v) = \mathbf{0}$ を満たすベクトル $v$ の集合です。

3. 像とは

像（英: image）は、線形写像によって定義される写像の値域の部分集合を指します。線形写像 $T: V \rightarrow W$ の定義域 $V$ の中で、$T(v)$ を取ることができるベクトル $v$ の集合です。

4. Pythonでの実装方法

Pythonを使用して線形写像のカーネルと像を計算する方法は比較的簡単です。以下に示すコード例では、NumPyライブラリを使用して行列演算を行います。

import numpy as np

# 行列 A を定義する
A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])

# カーネルの計算
kernel = np.linalg.null_space(A)
print("Kernel:", kernel)

# 像の計算
image = np.linalg.matrix_rank(A)
print("Image:", image)

5. コード例

上記のコード例では、NumPyライブラリを使用して次の手順を実行しています：

行列 A を定義します。
np.linalg.null_space() 関数を使用して行列 A のカーネル（零空間）を計算し、結果を kernel 変数に格納します。
np.linalg.matrix_rank() 関数を使用して行列 A の像（ランク）を計算し、結果を image 変数に格納します。
結果を出力します。

このコード例は、与えられた行列のカーネルと像を計算する方法を示しています。必要に応じて、他の行列やベクトルに対しても同様の手順が適用できます。

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