Pythonで理解する線形空間の射影：概念と実装

NumPy Python 機械学習

目次

  1. はじめに
  2. 線形空間とは何か？
  3. 射影とは何か？
  4. Pythonでの実装
  5. まとめ＆参考文献

はじめに

この記事では、Pythonを使用して線形空間の射影を理解し、その概念を実装する方法を説明します。

線形空間とは何か？

線形空間（またはベクトル空間）は、ベクトル加算およびスカラー乗算が可能なベクトルの集合です。これらの操作が一連の公理（結合法則、交換法則など）を満たす場合、その集合は「線形（またはベクトル）空間」と呼ばれます。

射影とは何か？

あるベクトルvが別のベクトルw上に投影される時、vからwへ最も近い点まで直角に引いた直線上に存在する点が投影点です。つまり、「射影」操作では元々n次元空間内で存在したある点が特定方向（特定軸）上へ移動します。

Pythonでの実装

必要なライブラリのインポート

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

ベクトル定義と視覚化

v = np.array([2,1])
w = np.array([-3,2])

plt.quiver(0, 0, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color ='r')
plt.quiver(0, 0, w[0], w[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1)
plt.xlim(-4, 3)
plt.ylim(-1, 3)
plt.grid()
plt.show()

射影の計算と視覚化

def projection(v,w):
    return (np.dot(v,w)/np.linalg.norm(w)**2)*w

proj = projection(v,w)

# Plotting
plt.quiver(0, 0, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color ='r')
plt.quiver(0, 0, w[0], w[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1)
plt.quiver(0 , 0 , proj [ 0 ] , proj [ 1 ] ,angles = ' xy ' ,scale_units = ' xy ' ,scale = 1,color = ' b ')

まとめ＆参考文献

この記事では、Pythonを使用して線形空間の射影を理解し、その概念を実装する方法について学びました。Pythonは数学的な概念をコードで表現し、それらを視覚化するための強力なツールです。

さらに詳しく学ぶためには以下が役立ちます：