Pythonで線形写像と行列の関係を探る

1. はじめに

この記事では、Pythonを使って線形写像と行列の関係を探ります。数学的な概念から始めて、具体的なコード例まで詳しく見ていきましょう。

線形写像（または線型変換）は、ベクトル空間上の変換で、加法およびスカラー倍に対する二つの重要な性質を保持します。 - 加法：f(u + v) = f(u) + f(v) - スカラー倍：f(cv) = c * f(v)

ここで u と v はベクトル、 c はスカラー（実数または複素数）、そして f が我々が考える線型変換です。

行列は、数字や記号、数式などを長方形に並べたものです。ベクトル空間上での計算やデータ表現等に広く用いられます。

すべての線型変換（有限次元）がある適切な基底下で行列によって表現可能だったり、逆に任意の行列があるベクトル空間から別のベクトル空間へ一定法則下で操作する際その操作自体が一種類新たな「変換」すなわち「写像」だったりします。これら二つ概念の間には深い結びつきが存在します。

PythonとNumPyライブラリを使って、行列と線形写像の例を実装しましょう。ここでは2次元ベクトル空間における線形写像を考えます。

import numpy as np

# 線形写像の行列
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# ベクトルv
v = np.array([5, 6])

# 線形写像の適用
w = A @ v

print(w)

上記コードは、ベクトル v に対して行列 A を用いた線形写像を適用しています。結果は新たなベクトル wとして出力されます。

この記事では、Pythonで線形写像と行列の関係性を探りました。数学的な概念から始めて、具体的なコード例まで見てきました。これらの理解は、深層学習やデータサイエンスにおける多くのアルゴリズムで重要な役割を果たします。