Pythonで求める線形空間の基底と次元

1. はじめに

本ブログでは、「線形空間」、「基底」および「次元」という数学的な概念について説明し、それらをPythonでどう実装するかを具体的なコード例を通して解説します。

2. 線形空間、基底、次元とは何か

線形空間

線形空間（またはベクトル空間）とは、スカラー倍や加法に関して閉じているベクトルの集合です。これらの操作が適用された結果も同じ線形空間内に存在します。

基底

線形空間の任意の要素がその基底ベクトルをスカラー倍したものを足し合わせること（すなわち、一次結合）で表現可能な場合、そのベクトル集合を「基底」と呼びます。

次元

そして、「次元」はその基底が持つ要素（ベクトル）数です。言い換えれば、最小限必要なベクトル数であることから、「自由度」を表す指標でもあります。

3. Pythonでの基底計算方法

import numpy as np 
from scipy.linalg import svd 

def compute_dimension(A):
    """
    A: matrix 
    """
    U, s, Vh = svd(A)
    rank = np.sum(s > 1e-10) # 誤差対策
    return rank

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7,8,9]])
print(compute_dimension(A))

この関数では特異値分解 (SVD) を使用して行列 A のランク（非ゼロ特異値数）を求め、基底を計算しています。

4. Pythonでの次元計算方法

    rank = np.sum(s > 1e-10) # 誤差対策
    return rank

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7,8,9]])
print(compute_dimension(A))

この関数では特異値分解 (SVD) を使用して行列 A のランク（非ゼロ特異値数）を求め、それが実質的な次元数となります。

5.まとめ

このブログでは線形空間の基底と次元について説明し、それらをPythonでどう計算するか示しました。これらの概念は線型代数や機械学習など多くの分野で重要な役割を果たしています。特に、基底と次元はベクトル空間の性質を理解する上で必要不可欠です。

これらのコード例が理解の一助となりましたら幸いです。今後もさまざまなトピックで情報提供して参りますので、お楽しみに！

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