Pythonで実装する最小二乗問題

1. 最小二乗法とは

最小二乗法は、統計学や機械学習などでよく用いられる手法の一つです。与えられたデータに対して、そのデータを最もよく表現する直線や曲線を求めるために使用されます。具体的には、データ点と予測値の差（残差）を最小化するようなパラメータを求めることが目的です。

2. 最小二乗法の数学的な背景

最小二乗法では、与えられたデータセットを表現するモデル関数（例えば直線や多項式）を仮定します。そして、そのモデル関数から得られる予測値と実際の観測値（データ点）の差を計算し、その差の平方和が最小になるようなパラメータを求めます。

3. Pythonでの最小二乗法の実装方法

Pythonでは、NumPyやSciPyなどのライブラリを使用することで簡単に最小二乗法を実装することができます。以下では、NumPyを使用した最小二乗法の実装方法について説明します。

データセットの準備: 最小二乗法を適用するためには、まずデータセットを用意する必要があります。データ点のx座標とy座標を配列として定義しましょう。
モデル関数の定義: 最小二乗法では、データセットを表現するモデル関数（例えば直線）を仮定します。モデル関数はパラメータ（例えば傾きや切片）によって決まるため、それらのパラメータも変数として定義します。
残差の計算: モデル関数から得られる予測値と実際の観測値（データ点）の差を計算します。これを残差と呼びます。残差は以下の式で表されます。

   residuals = y - model_function(x, parameters)

ここで、yは実際の観測値を格納した配列、model_functionはモデル関数を表す関数、xはデータ点のx座標を格納した配列、parametersはモデル関数のパラメータを格納した配列です。

残差の平方和最小化: 求めた残差の平方和が最小になるようなパラメータを求めます。これは最適化問題として解くことができます。NumPyには最小二乗法を解くための関数 numpy.linalg.lstsq() が用意されています。

   import numpy as np

   # 最小二乗法によるパラメータ推定
   parameters, residuals, _, _ = np.linalg.lstsq(A, b)

ここで、Aはモデル行列（各データ点に対応するモデル関数からなる行列）、bは観測値のベクトルです。関数 numpy.linalg.lstsq() はパラメータ、残差、残差の平方和、特異値などを返します。

モデルの評価: 最小二乗法によって求めたパラメータを用いてモデル関数から予測値を計算し、実際の観測値と比較します。これによりモデルの精度や適合度を評価することができます。

以上がPythonで最小二乗法を実装する一般的な手順です。次に具体的なコード例と解説を示します。

4. コード例と解説

import numpy as np

# データセットの準備
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 3, 4, 5, 6])

# モデル関数（直線）の定義
def linear_model(x, a, b):
    return a * x + b

# 残差の計算
residuals = y - linear_model(x, a, b)

ここで、aとbは直線の傾きと切片を表すパラメータです。

# 最小二乗法によるパラメータ推定
parameters, residuals, _, _ = np.linalg.lstsq(np.vstack([x, np.ones(len(x))]).T, y)
a, b = parameters

# モデルの評価
predicted_y = linear_model(x, a, b)

# 結果の表示
print("推定されたパラメータ:")
print("傾き (a):", a)
print("切片 (b):", b)
print("残差の平方和:", residuals)
print("予測値:", predicted_y)

このコードでは、最小二乗法を用いて与えられたデータセットを最もよく表現する直線（モデル関数）の傾き a と切片 b を求めています。また、残差の平方和や予測値も計算しています。

5. まとめ

この記事では、Pythonで最小二乗法を実装する手順について説明しました。最小二乗法はデータ解析や機械学習において重要な手法であり、NumPyなどのライブラリを使用することで簡単に実装することができます。最小二乗法を理解し、実装することでデータの傾向や関係性をより深く分析することが可能です。

AIko Code Symphony