目次
1. はじめに
本記事では、Pythonを用いて線形代数問題を解く一つの例として、リッジ回帰（Ridge Regression）を取り上げます。その数学的背景からPythonでの具体的な実装まで詳しく解説します。
2. リッジ回帰とは何か
リッジ回帰は線形回帰モデルに正則化項を追加することで過学習（overfitting）を防ぐ手法です。特に、特徴量が多い場合や多重共線性が存在する場合などに有効です。
3. リッジ回帰の数学的背景
通常の最小二乗法では、目標変数と予測値の二乗誤差が最小となるようパラメータを求めます。これに対して、リッジ回帰では以下のような正則化項を追加します。
J(θ) = ∑(y - θx)^2 + λ∑θ^2
ここでλ（ラムダ）は正則化パラメータ（またはペナルティパラメータ）であり、これが大きいほどパラメータθへの制約が強くなります。この制約項によって過学習が抑制されます。
4. Pythonでの実装例
Pythonではsklearn.linear_modelモジュール中のRidgeクラスを使用してリッジ回帰モデルを作成・訓練することが可能です。
以下にサンプルコードを示します：
from sklearn.linear_model import Ridge from sklearn.datasets import make_regression from sklearn.model_selection import train_test_split # データセットの生成 X, y = make_regression(n_samples=100, n_features=10, noise=0.1) X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2) # リッジ回帰モデルの作成と訓練 ridge = Ridge(alpha=1.0) # alphaは正則化パラメータλに対応します ridge.fit(X_train, y_train) # 訓練データとテストデータでのスコア計算 train_score = ridge.score(X_train,y_train) test_score = ridge.score(X_test,y_test) print(f"Training score: {train_score}") print(f"Test score: {test_score}")
このコードでは、まずmake_regression関数を用いて回帰問題のサンプルデータを生成しています。次に、Ridgeクラスを用いてリッジ回帰モデルを作成し、訓練データに対してフィットさせています。最後に、訓練データとテストデータそれぞれでモデルのスコア（決定係数）を計算し表示しています。
5. 結論
リッジ回帰は過学習を防ぐための有効な手段であり、Pythonではscikit-learnライブラリを使って容易に実装することが可能です。本記事がリッジ回帰やその他の正則化手法への理解や実装方法について参考になれば幸いです。
