NumPyによるLU分解とその応用

このブログでは、PythonのNumPyライブラリを使用してLU分解を計算し、その応用方法を解説します。

目次

1. LU分解の概要
2. NumPyとSciPyのインストール
3. LU分解の計算例
4. LU分解の応用事例

LU分解の概要

LU分解は、行列を下三角行列(L)と上三角行列(U)の積に分解する線型代数の手法です。これにより連立方程式の解を効率的に求めたり、行列式や逆行列を計算することができます。

NumPyとSciPyインストール

このチュートリアルでは、NumPyとSciPyを使用します。まだこれらのライブラリをインストールしていない場合は、次のコマンドでインストールできます。

pip install numpy scipy

LU分解の計算例

NumPyとSciPyを使用して、行列のLU分解を計算するコード例を紹介します。

import numpy as np
from scipy.linalg import lu

A = np.array([[4, 3], [6, 3]])
P, L, U = lu(A)

print("行列 A:")
print(A)
print("置換行列 P:")
print(P)
print("下三角行列 L:")
print(L)
print("上三角行列 U:")
print(U)

このコードでは、scipy.linalg.lu関数を使用して行列AをLU分解しています。結果は置換行列P、下三角行列L、および上三角行列Uに格納されます。

LU分解の応用事例

1. 連立一次方程式の解の求解

   LU分解を用いると、連立一次方程式の解を効率的に求めることができます。

   import numpy as np
   from scipy.linalg import lu_factor, lu_solve

   A = np.array([[4, 3], [6, 3]])
   b = np.array([1, 1])
   lu_factor, piv = lu_factor(A)
   x = lu_solve((lu_factor, piv), b)

   print("解 x:")
   print(x)

1. 行列式の計算

   LU分解を使って、行列の行列式を計算することができます。

   import numpy as np
   from scipy.linalg import det, lu

   def det_from_lu(L, U):
       return np.prod(np.diag(L)) * np.prod(np.diag(U))

   A = np.array([[4, 3], [6, 3]])
   P, L, U = lu(A)
   determinant = det_from_lu(L, U)

   print("行列式 d:")
   print(determinant)

これで、NumPyを使ったLU分解の計算とその応用方法を学ぶことができました。この記事が役に立つことを願っています。